|
Узелок
третий
:: решение ::
Задача 1. Два
путешественника садятся на поезда,
идущие в противоположных
направлениях по одному и тому же
замкнутому маршруту и
отправляющихся в одно и то же время.
Поезда отходят от станции
отправления каждые 15 минут в обоих
направлениях. Поезд, идущий на восток,
возвращается через 3 часа, поезд,
идущий на запад, - через 2. Сколько
поездов встретит каждый из
путешественников в пути (поезда,
которые отбывают со станции
отправления и прибывают на нее
одновременно с поездом, которым
следует путешественник, встречными
не считаются)?
Задача 2.
Путешественники следуют по тому же
маршруту, что и раньше, но начинают
считать встречные поезда лишь с
момента встречи их поездов. Сколько
поездов встретится каждому
путешественнику?
Ответы. 1) 19 поездов.
2) Путешественник,
следующий восточным поездом,
встретит 12 поездов, его напарник - 8.
Решение. С момента
отправления до возвращения в
исходный пункт у одних поездов
проходит 180 минут, у других - 120.
Возьмем наименьшее общее кратное 180 и
120 (оно равно 360) и разделим весь
маршрут на 360 частей (будем называть
каждую часть просто единицей). Тогда
поезда, идущие в одном направлении,
будут следовать со скоростью 2
единицы в минуту, а интервал между
ними будет составлять 30 единиц.
Поезда, идущие в другом направлении,
будут следовать со скоростью 3
единицы в минуту, а интервал между
ними будет равен 45 единицам. В момент
отправления восточного поезда
расстояние между ним и первым
встречным поездом составляет 45
единиц. Восточный поезд проходит 2/5
этого расстояния, встречный -
остальные 3/5, после чего
они встречаются в 18 единицах от
станции отправления. Все последующие
поезда восточный поезд встречает на
расстоянии 18 единиц от места
предыдущей встречи. В момент
отправления западного поезда первый
встречный поезд находится от него на
расстоянии 30 единиц. Западный поезд
проходит 3/5 этого
расстояния, встречный - остальные 2/5,
после чего они встречаются на
расстоянии 18 единиц от станции
отправления. Каждая последующая
встреча западного поезда с
восточными происходит на расстоянии
18 единиц от места предыдущей встречи.
Следовательно, если вдоль всего
замкнутого маршрута мы расставим 19
столбов, разделив его тем самым на 20
частей по 18 единиц в каждой, то поезда
будут встречаться у каждого столба.
При этом в первом случае (задача 1)
каждый путешественник, вернувшись на
станцию отправления, проедет мимо 19
столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Во втором случае (задача 2)
путешественник, едущий на восток,
начинает считать поезда лишь после
того, как он проедет 2/5
всего пути, то есть доедет до
восьмого столба, и таким образом
успевает сосчитать лишь 12 столбов (или,
что то же самое, поездов). Его
конкурент сосчитает лишь 8. Встреча
их поездов происходит в конце 2/5
от 3 часов, или 3/5 от 2
часов, то есть спустя 72 минуты после
отправления.
|
back
