Задачки на четность

1.	Можно ли уложить доминошками доску размером 5 на 5 ?
2.	Как, используя четность можно осчитать сумму 1-2+3-4+ ... -1000 ?
3.	Можно ли конем из одного угла шахматной доски попасть в противоположный , пройдя все клетки доски ровно по одному разу ?
4.	Дано число 1. За один ход его можно умножить на 2 или прибавить 1. За какое наименьшее количество ходов можно получить числа: а) 10; б) 100; в) 1000.
5.	У нас есть 101 монетка. Известно, что среди них 51 фальшивых и 50 настоящих. Также известно, что вес фальшивой монетки отличается на 1 грамм от веса настоящей. Мы взяли из кучи одну, произвольно выбранную монету. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах, которые показывают разницу в весе на чашках, определить какую монету мы взяли - настоящую или фальшивую ?
6.	На доске написали в строчку 75 чисел "-1". За один ход можно заменить два соседних числа на 1, если их знаки совпадают, и на –1, если их знаки различны. Всегда ли последнее число, то есть то единственное число, которое получится после 74 операций, будет одним и тем же ? Если да, то каким ?
7.	На доске написаны числа 1, 2, 3, … , 14. За одну операцию разрешается а) к любым двум прибавить по единице; б) выбрать два любых числа и прибавить к первому соседей второго и наоборот. Можно ли добиться того, чтобы все числа сделались равними ?
8.	Из шахматной доски вырезали две уловых клетки. Можно ли такую доску целиком покрыть доминошками ? А если вырезаны клетки b3 и e7 ?
9.	По кругу зацеплены 9 шестеренок: первая со второй, вторая с третьей, ... , девятая с первой. Могут ли они вращаться ?
10.	На столе стоят 13 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно ?
11.	Может ли прямая пересекать все ребра замкнутой 57-звенной ломаной, не проходя ни через одну вершину ?
12.	Докажите, что число точек пересечения двух замкнутых ломаных на плоскости, находящихся в общем положении - четно.
13.	Докажите, что сумма двух чисел, умноженная на их произведение, делится на 2.
14.	На льду лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьет по одной из шайб так, что она проходит между двумя другими и останавливается. Могут ли все шайбы оказаться на своих местах после 33-ех таких ударов ?
15.	Бильярд имеет форму правильного 1998-ми угольника. У его края стоит шар. Как надо пустить шар, чтобы он, отразившись от всех бортов, вернулся в ту же точку ? Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от начальной точки.
16.	Петя и Витя играют в такую игру. На столе лежат 2 монеты. Петя закрывает глаза, а Витя переворачивает любую из них. Переворачивать можно и несколько раз, говоря при каждом переворачивании "Хоп!" (можно переворачивать одну и ту же монету несколько раз). После этого Витя накрывает одну из монет рукой, а Петя открывает глаза и, взглянув на стол, отгадывает, как лежит накрытая Витей монета - орлом вверх или орлом вниз. Как Петя это делает ?
17.	Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов ?
18.	Дана квадратная таблица 4*4, в каждой клетке которой стоит "+" или "-" (см. рис.). За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов ? + - - + + + + - - + + - - + + - + + + + + + + + - + + - - - + + + + + + + - - + + + + + - + + -
19.	Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты, а 7 наполнены наполовину, на 3 машины так, чтобы на всех машинах было поровну бочек и кваса ?
20.	На листе бумаги написано несколько натуральных чисел (например, так: 1 2 5 6 1 4 ). Лена и Максим по очереди ставят перед каким-нибудь из этих чисел знак: "+" или "-" (если перед этим числом ещё нет знака). Когда перед каждым числом будет поставлен какой-нибудь знак, вычисляется значение полученного выражения (например: +1+2-5+6+1-4=1 ). Если полученное число чётное, то выигрывает Максим, а если нечётное, то Лена. Кто когда выигрывает ?
21.	Существует ли такое простое число p, что p²=2^p?
22.	По кругу стоят 99 корзин. Можно ли разложить в них несколько арбузов так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу ?
23.	B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на две части (по 50 коров в каждой) так, что суммарный вес коров первой части равен суммарному весу коров другой части. Известно, что каждая корова весит целое число килограмм. Докажите, что все коровы весят одинаково.
24.*	Будем назавать числами Фиббаначи те числа, что получаются таким образом: каждое из них является суммой двух предыдущих, а первые два - единицами. Тогда возникает такая интересная задача: Представим себе, что в ряд выписаны 100 чисел Фиббоначи. Между ними мы вправе расставить любым образом знаки "+" и "-". Можно ли таким образом получить в сумме ноль ?
25.*	Докажите, что любое натуральное число представимо в виде суммы некоторых степеней двойки, причем единственным образом.
26.*	Существует ли такое простое число p, что число 3^p+p³-тоже простое ?
27.*	Докажите, что число ( 1 1 ... 1 - 2 2 ... 2 ), где количество единичек 2n, а двоек n - полный квадрат.
28.*	Улитка ползет из точки А, поворачивая на 90 градусов в какую-нибудь сторону каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в точку А только через целое число часов. (Скорость улитки считается постоянной).
29.*	В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться ?

Символ * рядом с номером задачи означает, что задача считается сложной,
но это не повод откладывать ее в дальний ящик стола и даже не пытаться решить.