Задачки на общую делимость

1.

    а) Докажите, что если к произвольному числу с нечетным количеством цифр приписать его еще раз, то полученное число разделится на 11.
   б) Докажите, что если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то полученное число также разделится на 11.
2.    У числа 1994! вычислили сумму цифр. У получившегося числа вновь вычислили сумму цифр. И так далее. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.
3.    Имеет ли уравнение a²=3b+2 решение в целых числах ?
4.    На поле Чудес растут деревья с золотыми монетами (на разных деревьях может быть разное количество монет). Каждую ночь на каждом дереве вырастает по одной новой монете. 1 марта на деревьях было всего 1000 монет. В один из дней марта Буратино посадил ещё одно дерево, и 31 марта на деревьях оказалось всего 1993 монеты. В какой день Буратино посадил дерево ?
5.    Найти все целые числа n, при которых дробь (n2-3)/(n-3) - целое число.
6.    Докажите, что полусумма любых двух последовательных простых нечетных чисел - составное число.
7.    Докажите, что сумма любых двенадцати последовательных целых чисел не делится на 4.
8.    Незнайка умеет откладывать углы в 19o . Как ему отложить угол в 1o ?
9.    Проверить, верен ли такой признак делимости на 11:  "Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разница суммы всех цифр стоящих на четных местах и суммы всех цифр стоящих на нечетных местах делится на 11". Если да, то следует его доказать.
10.    Делится ли число 1234567890987654321 на 11? А на 13 и 17 ?
11.    Можно ли записать в клетки таблицы m*n некоторые числа так, чтобы сумма чисел в любом столбце была положительной, а сумма чисел в любой строке - отрицательной ?
12.    а) Хулиган Вася рвет школьную стенгазету: сначала на четыре части, потом одну из получившихся частей - еще на четыре части, и т.д. Может ли в результате получиться 1994 куска ?
   б) Та же задача, что и в п. а), но Васе помогает Петя, который рвет куски газеты на семь частей.
13.

   Перед вами - таблица с числами. Задумайте любое число от 1 до 15, скажите преподавателю, в каких строках таблицы оно стоит, и преподаватель, не глядя в таблицу, сразу отгадает это число. Можете ли вы так же угадывать числа ? Как вы будете это делать ?

 11 7 3 15 5 9 13 1
2 11 7 3 10 6 15 14
13 6 7 14 4 15 12 5
8 13 11 9 15 12 10 14
14.    Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом многоугольнике размерами 199*991 ?
15.    Докажите, что из любых n натуральных чисел всегда можно взять несколько (быть может, и одно из них), сумма которых делится на n, если а) n=2;   б) n=2;   в) n=3;   г)* n=10.
16.    Докажите, что число из трех одинаковых цифр делится на 37.
17.    Докажите, что abc-cba делится на 9. (a, b и c - цифры, а abc и cba - числа, записываемые этими тремя цифрами.)
18.    Докажите, что произведение трех последовательных целых чисед делится на 6.
19.    Сформулируйте и докажите признак делимости на 3 (на 9).
20.    Верен ли признак делимости на 27:
      а) Если сумма цифр числа делится на 27, то число делится на 27;
      б) Если число делится на 27, то сумма его цифр делится на 27 ?
21.    Делится ли на 81 81-значное число, все цифры которого единицы?
22.    Может ли быть точным квадратом число, 100 цифр которого единицы, а остальные - нули?
23.    Пусть m и m2+2 - простые числа. Доказать, что тогда m3+2 - тоже простое.
24.    Пусть k - количество делителей числа N. Докажите, что  k2<4N.
25.    Докажите, что существует число, делящееся на 1999, все цифры которого единицы.
26.    Натуральиые числа А и В таковы, что А2+АВ+1 делится на В2+АВ+1. Докажите, что А=В.
27.*    Существует ли набор из 100 различных чисел, произведение любых пяти из которых делится на сумму этих ста чисел?

Символ * рядом с номером задачи означает, что задача считается сложной,
но это не повод откладывать ее в дальний ящик стола и даже не пытаться решить.

Hosted by uCoz